拉普拉斯变换

在信号处理领域，有时候我们把信号放到频域进行分析，比时域更加直观且有用，但是一个信号如果傅里叶变换存在，必须要满足狄利赫里条件：

1）、函数在任意有限区间内连续，或只有有限个第一类间断点；

2）、在一个周期内，函数有有限个极大值或极小值；

3）、x(t)绝对可积；

特别是第三条绝对可积这一条件，就把大多数信号拒在傅里叶变换的门外。

为了让不满足绝对可积的信号也能进行傅里叶变换，就引入了拉普拉斯变换，其主要思想是在原信号上乘上一个快速衰减的函数，这样原本不满足绝对可积的函数就能够满足绝对可积的条件。

数学描述为：

其中e-at就是为了保证绝对可积而乘上的衰减函数。所以傅里叶变换是拉普拉斯变换的特例，即傅里叶变换是拉普拉斯变换在复平面实部等于0时的拉普拉斯变换。

下面我们以正弦信号为例，来说明正弦信号的拉普拉斯变换和傅里叶变换的关系。当取拉普拉斯变换的实部为0时，可以画出其结果就是正弦信号的傅里叶变换。

例如信号x(t)=e-atu(t),那么它的傅里叶变换在a>0时收敛，或者说当a>0时，信号x(t)的傅里叶变换才存在。

那么其拉普拉斯变换如下所示：

于是可以得到信号x(t)的S变换如果存在需要：

从而正像傅里叶变换不是对所有的信号都收敛一样，拉普拉斯变换也可能只对Re(a+jw)的某些值收敛，其他情况下则不收敛。

• 注：通过信号傅里叶变换分析我们知道，一个周期信号能够表示成一系列正弦信号叠加而成。那么一个信号的拉普拉斯变换就是在收敛域内叠加了一个衰减信号的正弦信号叠加合成。

Z变换

首先，一个离散信号的Z变换的定义为：

同样离散傅里叶变换和z变换之间也存在一些关系，现将复变量z用极坐标可以表示成：

其中r表示z的模，而用w表示其相位，故z变换还可以表示为：

故序列x[n]的z变换可以看出是信号x[n]r-n的傅里叶变换，指数加权信号可以随n增加而增加或减小，这取决于r是否大于1。特别当r=1时，就是傅里叶变换。

在z平面上，这个半径为1的圆成为单位圆，这个单位圆非常类似于s平面上虚轴在拉普拉斯变换中所说的作用。

同样为了使x[n]r-n的傅里叶变换存在，也存在一个r值的区间，这个区间成为z变换的收敛域。

考虑一个序列x[n]=anu[n]，那么其z变换为：

为了使x(z)收敛，就需要满足：

得到|z| >|a|就是其收敛域。