傅里叶级数讲解（傅里叶级数的简单理解方法）

给定二维直角坐标系：

假设A的坐标为（2，2），根据向量表示，则OA=2i+2j, i，j代表x,y轴

同样给定三维直角坐标系：

同样，假设B1的坐标为（3，3，3），根据向量表示，则OB1=3i+3j+3k, i,j,k代表x,y,z轴。

也就是说，空间直角坐标系把空间中的任意一点分解到了不同的坐标轴上面。我们知道，x,y,z轴是相互两两垂直，在我们所处的这个空间里面，再也找不出其他一根什么轴，能够再和x,y,z轴相互两两垂直，一般来说，对于空间中任意一点的分解也就到处为止了。但数学家不这么想，他们觉得，虽然现实中没有四维空间，但他们可以想象一个出来，不但是四维空间，而且是n维空间，如下图：

当然，这n维空间里的每一根轴都必须相互垂直。但现实中确实没有，怎么办呢？于是，他们把简单的x,y,z轴拓展到了函数，即三角函数，并且给出了两个函数相互垂直（即正交）的定义：

而三角函数刚好满足这样的条件：

图1

也就是说，

这些函数（包括1，代表分解后的直流分量）中的任意两项都两两正交。于是，按照直角坐标系OB1=3i+3j+3k,的形式，将点x替换为相应的函数值f(x)，就有

f(x)=a0+a1cosx+b1sinx+a2cos2x+b2sin2x+.........+ancosnx+bnsinnx，也就是傅里叶级数：

这里的a0,a1,a2,a3,......an，b1,b2,b3,......bn就相当于直角坐标系中的坐标，也就是图1中点x的函数值f(x)的坐标。

所以，傅里叶级数的意思简单明了。可以这样认为，在n维空间里面，任意一个函数值f(x)都有n个坐标值，也就是展开式中三角函数的系数。

剩下的事情就是把系数a0,a1,a2,a3,......an，b1,b2,b3,......bn求出来。而图1中三角函数的正交条件，又刚好允许我们把这些参数求出来：

因此，傅里叶级数可以简单理解如下：

1：将直角坐标系拓展为n维坐标系。

2：n维坐标系下每个点的函数值都有n个坐标，因此得到三角函数的展开式。

3：三角函数的正交性刚好允许将n个坐标值求出来。